Estimación por intervalo

Una estimación por intervalo de un parámetro $\theta$ de la población es un intervalo de la forma:

\[\Large \hat \theta_{inf}<\theta<\hat \theta_{sup}\] Donde los valores estimados dependen del valor estimado de $\theta$ y de la distribución de muestreo.

Intervalo de confianza

La inferencia estadística consiste en aquellos métodos por medio de los cuales se realizan inferencias o generalizaciones acerca de una población.

Nivel de confianza y de significancia

Nivel de confianza:

Probabilidad máxima con la que se asegura que un parámetro a estimar se encuentra dentro de un intervalo estimado.

Nivel de significancia:

Máximo error que se comete en la estimación usualmente se denota como $\alpha$.

\[\Large NC+\alpha=1\] Si se construyen 100 intervalos de la forma $\hat \theta_{inf}<\theta<\hat \theta_{sup}$ con un NC=0.97 entonces se espera que 97 de los 100 intervalos contengan el parámetro $\theta$

Intervalo de confianza para una muestra

IC para la media

con la varianza conocida

Si $\bar x$ es la media de una muestra aleatoria de tamaño 𝑛 de una población normal con varianza $\sigma^2$ conocida, un intervalo de confianza del 1 − 𝛼 100% para 𝜇 está dado por:

\[\Large \bar x-Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} \leq \mu \leq \bar x+Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n}\]

donde $Z_{\alpha/2}$ es el valor z que deja un área de 𝛼/2 a la derecha.

Ejemplo Una muestra aleatoria de 110 relámpagos dieron por resultado una duración de eco de radar promedio muestral de 0.81 segundos y una desviación estándar de 0.34 segundos. Calcule un intervalo de confianza de 95% para la duración de eco promedio e interprete el intervalo resultante

library(BSDA)

## Loading required package: lattice

## 
## Attaching package: 'BSDA'

## The following object is masked from 'package:datasets':
## 
##     Orange

zsum.test(mean.x=0.81,sigma.x=0.34, n.x=110,conf.level=0.95)

## 
##  One-sample z-Test
## 
## data:  Summarized x
## z = 24.986, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.7464624 0.8735376
## sample estimates:
## mean of x 
##      0.81

Intervalo de confianza para la media con varianza conocida

con la varianza desconocida

Si $\bar x$ es la media de una muestra aleatoria de tamaño 𝑛 de una población normal con varianza $\sigma^2$ desconocida, un intervalo de confianza del 1 − 𝛼 100% para 𝜇 está dado por:

\[\Large \bar x-t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt n} \leq \mu \leq \bar x+t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt n}\]

donde $Z_{\alpha/2}$ es el valor z que deja un área de 𝛼/2 a la derecha.

Ejemplo Se tienen los datos de las horas de ejercicio que hacen 10 adolescentes por semana, calcule un intervalo de confianza para el tiempo promedio con un NC del 90%

library(carData)

## 
## Attaching package: 'carData'

## The following objects are masked from 'package:BSDA':
## 
##     Vocab, Wool

carData::Blackmore$exercise[1:10]

##  [1] 2.71 1.94 2.36 1.54 8.63 0.14 0.14 0.00 0.00 5.08

x=carData::Blackmore$exercise[1:10]

t.test(x=x,conf.level = 0.9)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  x
## t = 2.5824, df = 9, p-value = 0.02958
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 90 percent confidence interval:
##  0.6539884 3.8540116
## sample estimates:
## mean of x 
##     2.254

IC para la proporción

Si $\hat p$ es la proporción de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño 𝑛, un intervalo de confianza aproximado de (1−𝛼) 100% para 𝑝 está dado por

\[\Large \hat p-Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\leq p \leq \hat p+Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \]

donde $𝑍_{𝛼/2}$ es el valor z que deja un área de 𝛼/2 a la derecha. Nota: usar solo cuando 𝑛𝑝≥50 y 𝑛(1 −𝑝)≥50

EJEMPLO Se seleccionó una muestra de 487 mujeres no fumadoras de peso normal (que había dado a luz). 7.2% de estos nacimientos dieron por resultado niños con bajo peso al nacer (menos de 2500 g). Calcule un intervalo de confianza con un nivel de confianza del 93% para la proporción de todos esos nacimientos que dieron por resultado niños de bajo peso al nacer.

prop.test(x=72,n=1000,conf.level=0.93)

## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  72 out of 1000, null probability 0.5
## X-squared = 731.02, df = 1, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 93 percent confidence interval:
##  0.05809659 0.08879847
## sample estimates:
##     p 
## 0.072

Intervalo de confianza para la proporción

IC para la varianza

Si $𝑠^2$ es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño 𝑛 de una población normal, un intervalo de confianza aproximado de (1−𝛼) 100% para $𝜎^2$ está dado por

\[\Large \frac {(n−1)𝑠^2}{\chi^2_{ \frac {𝛼} {2},𝑛−1} } <𝜎^2<\frac {(n−1)𝑠^2}{\chi^2_{1- \frac {𝛼} {2},𝑛−1} }\]

donde los denominadores son obtenidos de una chi-cuadrada. Nota: un intervalo de confianza para 𝜎 se puede obtener tomando raíz cuadrada en los límites del intervalo anterior.

Ejemplo Se tienen los datos de las horas de ejercicio que hacen 10 adolescentes por semana, calcule un intervalo de confianza para la varianza del tiempo con un NC del 98%.

library(EnvStats)

## 
## Attaching package: 'EnvStats'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     predict, predict.lm

library(carData)

carData::Blackmore$exercise[1:10]

##  [1] 2.71 1.94 2.36 1.54 8.63 0.14 0.14 0.00 0.00 5.08

x=carData::Blackmore$exercise[1:10]

varTest(x, conf.level=0.95)

## 
## Results of Hypothesis Test
## --------------------------
## 
## Null Hypothesis:                 variance = 1
## 
## Alternative Hypothesis:          True variance is not equal to 1
## 
## Test Name:                       Chi-Squared Test on Variance
## 
## Estimated Parameter(s):          variance = 7.618471
## 
## Data:                            x
## 
## Test Statistic:                  Chi-Squared = 68.56624
## 
## Test Statistic Parameter:        df = 9
## 
## P-value:                         5.813905e-11
## 
## 95% Confidence Interval:         LCL =  3.60443
##                                  UCL = 25.39124

Intervalo de confianza para la varianza

Intervalos de confianza para dos muestras

IC para la diferencia de medias

Si el intervalo contiene el cero significa que hay igualdad entre medias

Con varianzas conocidas

Si$\bar x_1$ y $\bar x_2$son las medias muestrales aleatorias independientes de tamaño $n_1$ y $n_2$ de poblaciones normales con varianzas conocidas $\sigma_1$ y $\sigma_2$ respectivamente, un intervalo de confianza de 1-𝛼 100 para $\mu_1-\mu_2$ está dado por:

\[\Large (\bar x_1-\bar x_2)-Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\left( \frac{\sigma_1^2}{n_1}\right)+\left( \frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)}<\mu_1-\mu_2< (\bar x_1-\bar x_2)+Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\left( \frac{\sigma_1^2}{n_1}\right)+\left( \frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)}\]

Con varianzas desconocidas pero iguales

Si$\bar x_1$ y $\bar x_2$son las medias muestrales aleatorias independientes de tamaño $n_1$ y $n_2$ de poblaciones normales con varianzas iguales pero desconocidas $_1$2𝑦$_2$ respectivamente, un intervalo de confianza de (1-𝛼)100% para $\mu_1-\mu_2$ está dado por:

\[\Large (\bar x_1-\bar x_2)-t_{\frac{\alpha}{2},v}S_p\sqrt{\left( \frac{1}{n_1}\right)+\left( \frac{1}{n_2} \right)}<\mu_1-\mu_2< (\bar x_1-\bar x_2)+ t_{\frac{\alpha}{2},v}S_p\sqrt{\left( \frac{1}{n_1}\right)+\left( \frac{1}{n_2}\right)}\] \[v=n_1-n_2-2\]

\[S^2_p=\frac{(n_1)S_1^2+(n_2)S_2^2}{n_1+n_2-2}\]

Intervalo de confianza para la diferencia de medias con varianzas iguales

Con varianzas desconocidas y diferentes

\[\Large (\bar x_1-\bar x_2)-t_{\frac{\alpha}{2},v}\sqrt{\left( \frac{S_1^2}{n_1}\right)+\left( \frac{S_2^2}{n_2} \right)}<\mu_1-\mu_2< (\bar x_1-\bar x_2)+ t_{\frac{\alpha}{2},v}\sqrt{\left( \frac{S_1^2}{n_1}\right)+\left( \frac{S_2^2}{n_2} \right)}\] \[v=\frac{\left( \left( \frac{S_1^2}{n_1}\right)+\left( \frac{S_2^2}{n_2} \right) \right) ^2}{\frac{\left( \frac{S_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left( \frac{S_1^2}{n_1}\right)^2}{n_2-1}}\]

Intervalo de confianza para la diferencia de medias con varianzas desconocidas y diferentes

IC para la razón de varianzas

Entre los diferentes usos que se le da a este intervalo de confianza el principal consiste en determinar si hay igualdad entre dos varianzas, esto se afirma si el intervalo contiene al 1, de contenerlo se dice que hay evidencia de que las varianzas poblacionales son iguales.

\[\Large \frac{S_1^2}{S_2^2}f_{\frac{\alpha}{2},n_2-1,n_1-1}<\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}<\frac{S_1^2}{S_2^2}*f_{1-\frac{\alpha}{2},n_2-1,n_1-1}\]

Intervalo de confianza para la razón de varianzas

EJEMPLO

Se realizó una prueba para comparar un método nuevo con el método estándar. Se entrenaron dos grupos de 9 nuevos empleados cada grupo durante un período de un mes; Se midió el tiempo en minutos que necesito cada empleado en armar cierto dispositivo al final del período de entrenamiento; los resultados obtenidos fueron:

E<-c(32,37,35,28,41,44,35,31,34)
N<-c(35,31,29,25,34,40,27,32,31)

Admitiendo que el tiempo de armado utilizado en ambos métodos son variables aleatorias independientes y distribuidas normalmente:

¿Tiene igual varianza?

###prueba de varianza
var.test(E,N)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  E and N
## F = 1.2205, num df = 8, denom df = 8, p-value = 0.7849
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.2753114 5.4109136
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           1.220527

¿Se puede aceptar la hipótesis de igualdad de tiempos de armado, en función de los datos y con un nivel de confianza del 95%?

t.test (E,N,paired=T,conf.level=0.95)

## 
##  Paired t-test
## 
## data:  E and N
## t = 2.9938, df = 8, p-value = 0.01723
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.8423999 6.4909334
## sample estimates:
## mean of the differences 
##                3.666667

IC para la diferencia de proporciones

$\bar p_x$ y $\bar p_y$son las proporciones de éxito de dos muestras aleatorias independientes de tamaño $n_1$ y $n_2$, entonces un intervalo de confianza de (1 −𝛼) 100% para $𝑝1−𝑝2$ está dado por:

\[\Large (\bar p_x-\bar p_y)-Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p_x q_x}{n_x}+ \frac{p_y q_y}{n_y}}<p_x-p_y<(\bar p_x-\bar p_y)+Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p_x q_x}{n_x}+ \frac{p_y q_y}{n_y}}\] Si el intervalo contiene el cero significa que hay igualdad entre medias

Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones

Ejemplo Dos grupos son considerados en un grupo sobre la efectividad de una nueva vacuna. El primer grupo, que recibe la vacuna contiene 200.745 individuos. El Segundo grupo, que recibe un placebo consiste de 201.229 individuos. Hubo 57 casos de enfermedad en el primer grupo y 142 casos en el segundo grupo. se desea saber si la vacuna es o no eficiente, use un intervalo de confianza con un nivel de significancia $\alpha=0.05$ para conocer las relaciones entre las proporciones p1 y p2.

x <- c(57,142)
n <- c(200745,201229)
prop.test(x, n)

## 
##  2-sample test for equality of proportions with continuity correction
## 
## data:  x out of n
## X-squared = 35.273, df = 1, p-value = 2.866e-09
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  -0.0005641508 -0.0002792920
## sample estimates:
##       prop 1       prop 2 
## 0.0002839423 0.0007056637

Halle un intervalo de confianza al 95% para la diferencia de proporciones. Que concluye

Intervalo de confianza para la diferencia de medias pareadas

Si $\hat d$ y $𝑠_𝑑$ son la media y la desviación estándar de las diferencias distribuidas normalmente de 𝑛pares aleatorios de mediciones, entonces un intervalo de confianza de (1-𝛼)100% para $𝜇_𝑑=𝜇_1-𝜇_2$ está dado por:

\[\Large \bar d-t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt n} \leq \mu \leq \bar d+t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt n}\] Ejemplo Se tienen los datos del coeficiente intelectual verbal y matemático de un grupo de personas, se desea saber si hay diferencias entre los coeficientes, use un intervalo de confianza para la diferencia pareada del 92%

#IQ MATEMATICO
iqm=carData::Wong$piq[1:10]

#IQ VERBAL
iq=carData::Wong$viq[1:10]

t.test(x=iqm,y=iq, paired = TRUE,conf.level = 0.92)

## 
##  Paired t-test
## 
## data:  iqm and iq
## t = -0.82575, df = 9, p-value = 0.4303
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 92 percent confidence interval:
##  -10.844577   4.444577
## sample estimates:
## mean of the differences 
##                    -3.2

Intervalo de confianza para la diferencia de medias pareadas

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