Función gama

La distribución normal es simétrica. Existen muchas situaciones de interés en que la distribución es asimétrica. Una familia de distribuciones que tiene esta propiedad es la familia gama.

Con \(\alpha>0\), la función gama \(\Gamma(\alpha)\) se define como:

\[\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}dx\] Las propiedades más importantes de la función gama son las siguientes:

  1. Con cualquier \(\alpha>1, \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)*\Gamma(\alpha-1)\)

  2. Con cualquier entero positivo n, \(\Gamma(n)=(n-1)!\)

  3. \(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt \pi\)

Función de distribución de probabilidad gama

Si se está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media \(\lambda\), la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento, sigue una distribución gamma, por ejemplo cuando se realiza el estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de vida).

Una variable aleatoria continua X tiene una distribución gama si la función de densidad de probabilidad de X es:

\[ f(x;\alpha,\beta)=\left\{ \begin{array}{lc} \\ \frac{x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}}{\beta^\alpha\Gamma (\alpha)} & si & x \geq 0 \\ \\ 0 & & e.o.c \end{array} \right. \]

Donde \(\alpha>0\) y \(\beta>0\)

  • El parámetro \(\alpha\) recibe el nombre de parámetro de forma

si \(\alpha \leq 1\) la función de densidad muestra un perfil decreciente.

si \(\alpha>1\) la función de densidad crece

  • \(\beta\) se llama parámetro de escala porque los valores diferentes alargan o comprimen la función de densidad de probabilidad en la dirección x.

  • La distribución exponencial se deriva de considerar \(\alpha=1\) y \(\beta=1/\lambda\)

  • Cuando \(\beta=1\) se obtiene la Distribución gama estándar

Función de distribución de probabilidad gama estándar

\[f(x)=\left\{ \begin{array}{lc} \\ 0 & si & x < 0 \\ \\ \frac{x^{\alpha-1}e^{-x}}{\Gamma (\alpha)} & si & x \geq 0 \end{array} \right.\]

La media y la varianza de una variable aleatoria X que tiene la distribución gama f(x,α,β) son:

\[E(x)=μ=αβ\]

\[V(x)=αβ^2\]

La función de distribución acumulativa de una distribución gama estándar de X, con x>0 es:

\[P(X≤x)=F(x;α,β)=F\left(\frac{x}{β};α\right)= \int_0^x \frac{y^{\alpha-1}e^{-y}}{\Gamma (\alpha)} \]

donde \(F(.;\alpha)\) es la función gama incompleta

Hallar probabilidades a partir de la tabla con \(\beta=1\), cuya función se llama la gama incompleta porque el integrando no posee el denominador

Ejemplo 1:

Suponga que el tiempo de reacción X de un individuo seleccionado al azar a un estímulo tiene una distribución gama estándar con \(\alpha=2\)

Como X es continua:

\[𝑷(𝒂≤𝒙≤𝒃)=𝑭(𝒃)−𝑭(𝒂)\]

\[𝑷(3≤𝒙≤5)=𝑭(x=5,α=2)−𝑭(x=3,α=2)\]

\[= 0.960 - 0.801 = 0.159\]

La probabilidad de que el tiempo de reacción sea de más de 4 s es

\[P(x>4)=1-P(x≤4)\]

\[=1-F(x=4,α=2)\]

\[=1-0.908=0.092\] Ejemplo 2: Suponga que el tiempo de sobrevivencia de un ratón macho seleccionado al azar expuesto a 240 rads de radiación gama tiene una distribución gama con \(\alpha=8\) y \(\beta=15\).

  1. Halle el tiempo de sobrevivencia esperado

\[E(X)=8*15=120 \quad semanas\] b. halle la varianza y la sd

\[V(X)=(8)*(15)^2=1800\]

\[sd=\sqrt {1800}=42.43 \quad sem\]

  1. cuál es la probabilidad de que un ratón sobreviva entre 60 y 120 semanas

\[P(60 \leq X \leq 120)= P(X \leq 120)- P(X\leq 60)\] Estandarizando

\[F(120/15;8)- F(60/15;8)\]

\[ F(8; 8) - F(4; 8)= 0.547- 0.051 = 0.496\] d. Cual es la probabilidad de que un ratón sobreviva por lo menos 30 semanas

\[P(X>30)= 1 - P(X\leq 30)\] \[ 1 - F(30/15;8)= 0.999\]

Función de distribución de probabilidad exponencial

La distribución exponencial se deriva de considerar \(\alpha=1\) y \(\beta=1/\lambda\) en la distribución gama. Esta distribución analiza el espacio entre dos eventos en un proceso de Poisson, donde los eventos ocurren de manera continua e independiente a una tasa constante λ.Un ejemplo es el tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse.

Función de distribución de probabilidad

Se dice que X tiene una distribución exponencial con parámetro λ, con λ>0, si la función de densidad de probabilidad de X es:

\[ f(x;λ)=\left\{ \begin{array}{lc} \\ λe^{-λx} & si & x \geq 0 \\ \\ 0 & si & x < 0 \end{array} \right. \]

El valor esperado de una variable aleatoria exponencialmente distribuida X es:

\[ E(X)=\int_0^\infty x λe^{-λx} \,dx \]

Después de resolver la integral por partes, se tiene que el valor medio es \[E(x)=\frac{1}{λ}\]

Mientras que la varianza se obtiene resolviendo:

\[V(X)=E(X^2)-\mu^2 \] \[V(X)=\int_0^\infty x^2 λe^{-λx}-\mu^2 \] al resolver las integrales se obtiene que
\[Var(x)=\frac{1}{λ^2}\]

Función de distribución acumulada

La función de distribución acumulada es

\[ F(x;λ)=\left\{ \begin{array}{lc} \\ 0 & si & x < 0 \\ \\ 1-e^{-λx} & si & x \geq 0 \end{array} \right. \]

Ejemplo 1

En promedio un rayo mata 3 personas cada año en un país λ=3 muertes/año.

Así la función acumulada es

\[F(x;λ)=\left\{ \begin{array}{lc} \\ 0 & si & x < 0 \\ \\ 1-e^{-3x} & si & x \geq 0 \end{array} \right.\]

  1. Calcule la probabilidad de que el tiempo de muerte sea menos de un año

\[P(x<1)=1-e^{-3}=0.95\]

Calcule la probabilidad de que el tiempo hasta la próxima falla sea al menos de 18 meses \[P(t>1.5)=1-p(t\leq 1.5)=0.95\] \[P(t>1.5)=1-F(1.5)=0.95\] \[P(t>1.5)=1-(1-e^{-3*1.5})=e^{-4.5}\]

Propiedad de pérdida de memoria de la distribución exponencial

En el análisis del comportamiento de las líneas de espera, se reconoce que el proceso de llegada de los clientes al sistema ocurre de forma totalmente aleatoria. Se entiende por aleatorio que la ocurrencia de un evento no se ve afectado por el tiempo transcurrido desde la ocurrencia de un evento anterior. Por ejemplo, si en estos momentos son las 10:30 y la última llegada de un cliente fue a las 10:15, la probabilidad de que la siguiente llegada sea a las 10:35 es función sólo de las 10:30 a las 10:35 y en consecuencia es totalmente independiente del tiempo transcurrido desde la ocurrencia del último evento, es decir, de las 10:15 a las 10:30.

Teoricamente se traduce en la siguiente propiedad \[P(X>x+y|X>y)=P(X>x) \] la demostración de esta formula está dada por:

\[P(X>x+y|X>y)=\frac{P(X>x+y \bigcap X>y)=}{P(X>y)}\] \[\frac{P(X>x+y )}{P(X>y)}\]

\[\frac{e^{-\lambda(x+y)}}{e^{-\lambda y}}\] \[e^{-\lambda x}=P(X>x)\]

Relación entre la distribución exponencial y la poisson

La distribución exponencial está estrechamente relacionada con el proceso Poisson.

Probabilidad es un valor entre 0 y 1

Probabilidad es un valor entre 0 y 1

La v.a Poisson es discreta

  • Cuenta los eventos durante un periodo de tiempo.

  • Calcula la probabilidad de que se produzca un número de eventos.

  • La pregunta clásica de la distribución de Poisson es ¿cuántas personas llegarán a la caja en la próxima hora?“.

La v.a exponencial es continua

  • calcula las probabilidades del paso del tiempo,

  • las preguntas clásicas de la distribución exponencial son:

    • ¿cuánto tiempo pasará hasta que llegue la siguiente persona?”
    • ¿cuánto tiempo permanecerá la persona una vez que haya llegado?

Existe una confusión natural con µ tanto en las fórmulas de Poisson como en las exponenciales. Tienen significados diferentes, aunque tengan el mismo símbolo. La media de la exponencial es uno dividido entre la media de Poisson. Si se da el número histórico de llegadas se tiene la media de Poisson. Si se da una duración histórica entre eventos, se tiene la media de una exponencial.

Ejemplo

VA poisson: Cuál es la probabilidad de que en colombia en el año sucedan 20 temblores

VA exponencial: Cuanto tiempo transcurre entre un temblor y otro

El número de eventos que ocurren en cualquier intervalo de tiempo de duración t tiene una distribución de Poisson con parámetro \(\alpha t\) (donde \(\alpha\),es el número esperado de eventos que ocurren en una unidad de tiempo) y que las ocurrencias entre eventos son independientes. Entonces la distribución del tiempo transcurrido entre la ocurrencia de dos eventos sucesivos es exponencial con parámetro \(\lambda=\alpha\).

El número de autos que corren a una alta velocidad (detectada por cámaras) durante un lapso de una hora es una v.a. poisson con μ=8.4 . ¿Cuál es la probabilidad de esperar menos de 10 minutos entre dos autos veloces? Solución:

X~p (8.4) autos / hora

µ=60/8.4 minuto/auto =7.1428

X~Exp con media de 7.1428

λ =1/µ donde λ =1/7.1428=0.14

X~Exp (0.14)

P(x<10)=1-e^(-0.14*10) =0.7534

Ejercicios

Ejercicios GAMA

  1. Suponga que cuando un transistor de cierto tipo se somete a una prueba de duración acelerada, la duración X (en semanas) tiene una distribución gama acelerada con media de 24 semanas y desviación estándar de 12 semanas.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un transistor dure entre 12 y 24 semanas?

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un transistor dure cuando mucho 24 semanas? ¿Es la mediana de la distribución de duración menor que 24? ¿Por qué si o por qué no?

  3. ¿Cuál es el 99o percentil de la distribución de duración?

  4. Suponga que la prueba termina en realidad después de t semanas. ¿Qué valor de t es tal que sólo el 0.5% de todos los transistores continuarán funcionando al término de la prueba?

  5. 0.424 b. 0.567,$ < 24$ c. 60 d. 66

  1. En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilovatios por hora, puede considerarse como una variable aleatoria con distribución gama de parámetros α= 3 y β=2. La planta de energía de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/hora ¿Cuál es la probabilidad de que este abastecimientos sea: 2.1. Insuficiente en un día cualquiera? 2.2 Se consuman entre 3 y 8 millones de K. W./Hora? 2.3 Encuentre E(x) y V(x)

  2. Si X tiene una distribución gama estándar con \(\alpha=7\) evalúe lo siguiente: \[a. P(X \leq 5)\] \[b.P(X< 5)\] \[c. P(X>8)\] \[d. P(3 \leq X \leq 8)\] \[ e. P(3 < X < 8)\] \[f. P(X <4 o X > 6)\]

Ejercicios exponencial

  1. Sea X el tiempo entre dos llegadas sucesivas a la ventanilla de autopago de un banco local. Si X tiene una distribución exponencial con λ=1 (la cual es idéntica a una distribución gama estándar con λ= 1), calcule lo siguiente:
  1. El tiempo esperado entre dos llegadas sucesivas
  2. La desviación estándar del tiempo entre dos llegadas sucesivas
  3. P(x≤4)
  4.  P(2≤x≤5)

(rta/ a. 1 b. 1 c. 0.982 d. 0.129)

  1. La amplia experiencia con ventiladores de un tipo utilizados en motores diesel ha sugerido que la distribución exponencial proporciona un buen modelo del tiempo hasta la falla. Suponga que el tiempo medio hasta la falla es de 25000 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que
  1. ¿Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20 000 horas?
  2. ¿Cuándo mucho 30000 horas? ¿Entre 20000 y 30000 horas?
  3. ¿Exceda la duración de un ventilador el valor medio por más de dos desviaciones estándar? ¿Más de tres desviaciones estándar? (rta a. 0.449, 0.699, 0.148 b. 0.05, 0.018)
  1. El tiempo entre llegadas de mensajes electrónicos a un computador tiene una distribución exponencial con media de 1.25 horas.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que el computador reciba un mensaje en un período de 10 minutos?

  2. Si son las 5 de la tarde y no ha recibido mensajes desde las 10 de la mañana, ¿Cuál es la probabilidad de recibir un mensaje antes de las 10 de la noche?

  1. El tiempo entre la llegada de los clientes a un cajero automático es una variable aleatoria exponencial con una media de cinco minutos.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen al cajero más de tres clientes en un lapso de 10 minutos?

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo transcurrido hasta que llega el quinto cliente sea menor que 15 minutos?

  1. La magnitud de temblores registrados en una región de América del Norte puede modelarse como si tuviera una distribución exponencial con media 2.4, según se mide en la escala de Richter. Encuentre la probabilidad de que un temblor que ocurra en esta región

a sea mayor que 3.0 en la escala de Richter. b caiga entre 2.0 y 3.0 en la escala de Richter. c. De los siguientes diez temblores que afecten esta región, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea mayor que 5.0 en la escala de Richter?

Suponga que la magnitud de los terremotos que afectan la región tiene una distribución gamma con \(\alpha=0.8\) y \(\beta = 2.4\). a ¿Cuál es la magnitud media de los terremotos que afectan la región? b ¿Cuál es la probabilidad de que la magnitud de un terremoto que afecte la región exceda de 3.0 en la escala Richter? c Compare sus respuestas con el Ejercicio anterior. ¿Cuál probabilidad es mayor? Explique. d ¿Cuál es la probabilidad de que un terremoto que afecte las regiones caiga entre 2.0 y 3.0 en la escala Richter? (rta a E(Y) = 1.92 b P(Y > 3) =.21036 d P(2 ≤Y ≤3) =.12943)

  1. Si Y tiene una distribución exponencial y P(Y>2)=0.0821, ¿cuál es \[a. \beta=E(Y)?\] \[b. P(Y\leq 1.7)?\] (Rta/ \(\beta=0.8\), \(P(y\leq1.7)=0.8806\))

  2. El operador de una estación de bombeo ha observado que la demanda de agua durante las primeras horas de la tarde tiene una distribución aproximadamente exponencial con media de 100 pes (pcs cúbicos por segundo). a Encuentre la probabilidad de que la demanda sea mayor que 200 pcs durante las primeras horas de la tarde en un día seleccionado al azar. b ¿Qué capacidad de bombeo de agua debe mantener la estación durante las primeras horas de la tarde para que la probabilidad de que la demanda sea mayor que la capacidad en un día seleccionado al azar sea de sólo .01?

(rta a 0.1353 b 460.52 cfs)

  1. Una evidencia histórica indica que los tiempos entre accidentes mortales en vuelos nacionales de horario programado en aviones de pasajeros en Estados Unidos tienen una distribución aproximadamente exponencial. Suponga que el tiempo medio entre accidentes es de 44 días. a Si uno de los accidentes ocurrió el 1 de julio de un año seleccionado al azar en el periodo de estudio, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra otro accidente ese mismo mes? b ¿Cuál es la varianza de los tiempos entre accidentes? (rta a 0.5057 b. 1936)

  2. Una planta de manufactura utiliza un producto específico a granel. La cantidad de producto empleada en un día puede ser modelada por una distribución exponencial con \(\beta=4\) (medida en toneladas). Encuentre la probabilidad de que la planta utilice más de 4 toneladas en un día determinado.

(rta 0.3679) ¿Cuánto producto a granel debe tener en existencia para que la probabilidad de que se agote el producto en la planta sea de sólo 0.05?

Suponga que la cantidad de producto usado en un día tiene una distribución gamma con \(\alpha=1.5\) y \(\beta = 3\). a Encuentre la probabilidad de que la planta use más de 4 toneladas en un día determinado. b ¿Cuánto del producto a granel debe haber en existencia para que la probabilidad de que la planta agote el producto sea de sólo .05?

Relación exponencial-poisson

  1. A una estación de servicio llegan en promedio 5 clientes por hora ¿Cuál es la probabilidad de que entre dos llegadas consecutivas: transcurra mínimo 20 minutos? Solución: X~p (5) / hora µ=60/5 minuto/cliente
    µ=12 X~Exp con media de 12minutos λ =1/µ donde λ =1/12 λ =0.083 X~Exp (1/12) a p.(x >20)= e^(-0.083*20) =0.1888

  2. Suponga que las llamadas telefónicas que llegan a un conmutador particular siguen un proceso de poisson con un promedio de 5 llamadas que llegan por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que pase más de un minuto entre dos llegadas consecutivas? Solución:

X~p (5) / minuto Tiempo entre llamadas µ=1/5 minuto/cliente
µ=0.2 X~Exp con media de 0.2 minutos λ =1/µ donde λ =1/0.2 λ =5 X~Exp (5) a p.(x>1)= e^(-5*1) =0.006737

4.Se realiza un estudio de la cantidad de automóviles que llegan a un auto lavado durante una hora se describe una distribución de poisson con una media de 10 automóviles por hora. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo carro en la fila tenga que esperar más de 10 minutos para ser atendido? Solución:

X~p (10) / hora Tiempo entre llegadas µ=60/10 µ=6 minutos X~Exp con media de 6 minutos. λ =1/µ donde λ =1/6 λ =0.1666 X~Exp (0.1666) a p.(x >10)= e^(-1*10) =0.000045

5.El tiempo entre llegadas de barcos a un determinado puerto siguen un proceso de poisson con un promedio de 6 barcos por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que pase más de tres minutos entre dos llegadas consecutivas de barcos?

Solución: X~p (6) / minuto Tiempo entre llamadas µ=1/6 minuto/barco µ=0.166 X~Exp con media de 0.1666 minutos λ =1/µ donde λ =1/0.1666 λ =6 X~Exp (6) a p.(x>3)= e^(-6*1) =0.002478

Selección múltiple

Suponga que se reciben llamadas durante las 24 horas en una “línea de emergencia para prevención del suicidio” de acuerdo con un proceso de Poisson a razón α= 0.5 llamadas por día. Halle la probabilidad de que transcurran más de dos días entre llamadas es

Solución:

Entonces el número de días X entre llamadas sucesivas tiene una distribución exponencial con valor de parámetro 0.5

X~p (0.5 llamadas/día) El tiempo esperado entre llamadas sucesivas es 1/0.5= 2 días. µ=2 X~Exp con media de 0.5 λ =1/µ donde λ =1/2 λ =0.5 X~Exp (0.5)

P(X>2)=1-P(x≤2)=1-(1-e^(0.52) )= e^(0.52)=0.368

  1. históricamente llegan 10 clientes a las filas de espera en las cajas registradoras cada hora. Halle la probabilidad de que una persona tarde 9 minutos o menos en pasar por caja registradora.

X~p (10 clientes) / hora Tiempo entre llegadas µ=1/10 0.1 clientes/hora µ=0.1 X~Exp con media de 0.1 minutos λ =1/µ donde λ =1/0.1 λ =10 X~Exp (10) Pasamos 9 minutos a horas 9 min*(1 hora)/(60 min)=0.15 horas

P(x≤0.15)=1-e^(-10*0.15)=0,7769

  1. La amplia experiencia con ventiladores de un tipo utilizados en motores diesel ha sugerido que la distribución exponencial proporciona un buen modelo del tiempo hasta la falla. Suponga que el tiempo medio hasta la falla es de 25000 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20.000 horas?

Tiempo entre fallas
µ=25000 horas hasta la falla

µ=1/ λ λ=1/25000=0.00004

X~Exp con media de 25000 horas

X~Exp (0.00004)

P(x≥20000)=e^(-20000*0.00004)=0,449

  1. Si entran llamadas a un centro policial de emergencia a razón de diez por hora, ¿cuál es la probabilidad de que transcurran más de 15 minutos entre las dos llamadas siguientes? X~p (10) / hora Tiempo entre llamadas µ=1/10 0.1 horas µ=0.1 X~Exp con media de 0.1 minutos λ =1/µ donde λ =1/0.1 λ =10 X~Exp (10)

Pasamos 15 minutos a horas 15 min*(1 hora)/(60 min)=0.25 horas

P(x≥0.25)=e^(-10*0.25)=0,082

  1. Durante el año 2020, el Centro Sismológico Nacional (CSN) de la Universidad de Chile, procesó 21 sismos por día. ¿cuál es la probabilidad de que se reporte más de dos horas entre sismos? X~p (21 sismos) / día Tiempo medio entre sismos µ=1/21 0.0476 días µ=0.0476 X~Exp con media de 0.04762 días λ =1/µ donde λ =1/0.1 λ =10 X~Exp (21) Pasamos 2 horas a dias 2 horas*(1 dia)/(24 horas)=0.0833 horas

P(x≥0.0833)=e^(-21*0833)=0,1737


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