Distribución Hipergeométrica

Experimento Hipergeométrico

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:

Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados, exito y un fracaso
Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
Cada ensayo o repetición del experimento es dependiente de los demás.
El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Usos de la distribución hipergeométrica

Pruebas electrónicas
Control de calidad
Fabricación de piezas
Juegos de azar

Función de distribución hipergeométrica

Si X es el número de éxitos (E) en una muestra completamente aleatoria de tamaño n extraída de la población compuesta de K éxitos y (N-K) fallas, entonces la pdf es:

\[ f(x) \;=\; P(X=x)\;= \; \frac{{k\choose x}\,{N-k\choose n-x}}{{N\choose n}}, \qquad \text{donde}\quad x=0,1,2, \ldots, n \quad \text{y}\quad n\leq N \]

Si X sigue una distribución hipergeométrica con parámetros n, K y N, se denota:

\[X\sim h(n,K,N)\]

Valor esperado: \[E(x)=np \qquad p=\frac{k}{N}\]

Varianza \[V(x)=npq\frac{N-n}{N-1} \qquad p=\frac{k}{N}\]

Función acumulada

\[ F(x) \;=\; P(X\leq x)\;= \sum_{x=0}^x\; \frac{{k\choose x}\,{N-k\choose n-x}}{{N\choose n}}, \qquad \text{donde}\quad x=0,1,2, \ldots, n \quad \text{y}\quad n\leq N \]

Ejemplo

las semillas son tratadas frecuentemente con fungicidas para protegerlas en ambientes húmedos.Un intento a pequeña escala, que comprende 5 semillas tratadas y 8 no tratadas, fue realizado antes de un experimento a gran escala. Las semillas se plantaron en un suelo húmedo y se contó el número de plantas que brotaron. Si brotaron cuatro plantas.

Sea x la variable aleatoria que representa las plantas tratadas
k semillas tratadas=5
N-k semillas no tratadas 8
El tamaño de la población es:

semillas tratadas + semillas no tratadas= 5+8 =13

El tamaño de la muestra n es:4 plantas que brotaron

Recordemos la pdf:

\[ f(x) \;=\; P(X=x)\;= \; \frac{{k\choose x}\,{N-k\choose n-x}}{{N\choose n}}, \qquad \text{donde}\quad x=0,1,2, \ldots, n \quad \text{y}\quad n\leq N \]

¿cuál es la probabilidad de que

las cuatro plantas brotaran de semillas tratadas?

\[ P(X=4)\;= \; \frac{{5\choose 4}\,{8\choose 0}}{{13 \choose 4}}=0.7\%\] El resultado en R sería

## [1] 0.006993007

Tres o menos brotaran de semillas tratadas?

\[ P(X\leq 3)\;= p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)+p(x=3)=\]

\[ \frac{{5\choose 0}\,{8\choose 4}}{{13 \choose 4}}+ \frac{{5\choose 1}\,{8\choose 3}}{{13 \choose 4}}+ \frac{{5\choose 2}\,{8\choose 2}}{{13 \choose 4}}+ \frac{{5\choose 3}\,{8\choose 1}}{{13 \choose 4}}\] Para resumir, la probabilidad pedida es: \[\sum_{x=0}^3\; \frac{{5\choose x}\,{8\choose 4-x}}{{13\choose 4}}=99.3\%\] En R sería:

## [1] 0.993007

Encuentre la función de dsitribución de probabilididad

\[p(X=x)= \frac{{5\choose x}\,{8\choose 4-x}}{{13\choose 4}}\qquad \text{para} \quad x=0,1,2,3,4\]

Una lista de clientes de una empresa contiene 1000 cuentas. De estos, 700 han comprado al menos una vez en la empresa en los últimos 3 meses. Para evaluar la frecuencia, se encuestan 50 clientes ¿Cuál es la probabilidad de que más de 45 de los clientes encuestados hayan comprado en la empresa en los últimos 3 meses?

Sea x la variable aleatoria que representa el número de clientes que han comprado en los ultimos tres meses

Identificar los parámetros:

N=1000 k=700 n=50

\[P(x>45)=P(x=46)+p(x=47)+p(x=48)+p(x=49)+p(x=50)\] En la calculadora: \[P(x>45)= \frac{{700\choose 46}\,{300\choose 4}}{{1000\choose 50}}+ \frac{{700\choose 47}\,{300\choose 3}}{{1000\choose 50}}+ \frac{{700\choose 48}\,{300\choose 2}}{{1000\choose 50}}+ \frac{{700\choose 49}\,{300\choose 1}}{{1000\choose 50}}+ \frac{{700\choose 50}\,{300\choose 0}}{{1000\choose 50}}\]

\[P(x>45)=\sum_{x=46}^{50}\;\frac{{700\choose x}\,{300\choose 50-x}}{{1000\choose 50}}!!!!!\] En R lo realizaremos por el complemento

\[P(x>45)=1-p(x\leq 45)\] \[=1-\sum_{x=0}^{45}\;\frac{{700\choose x}\,{300\choose 50-x}}{{1000\choose 50}}\]

## [1] 0.0001275857

Aproximación de la distribución Hipergeométrica a la Binomial

Una distribución hipergeométrica se aproxima a una binomial con p=K/N, cuando N se aproxima a infinito, en general es buena aproximación cuando \(n<\frac{N}{10}\)

Para resolver el ejercicio anterior el planteamiento es:

\[n<\frac{N}{10}, \qquad 50<\frac{1000}{10}, \qquad 50<100\] Luego la probabilidad corresponde a

\[p=\frac{K}{N}=\frac{700}{1000}=0.7\] Recordemos la forma acumulada de la distribución binomial

\[p(x\leq x)=F(x)=\sum_{x=0}^x\displaystyle{n \choose x}p^x q^{n-x}\] Entonces p=0.7, n=50 \[P(x>45)=P(x\geq 46)=\sum_{x=46}^{50}{50 \choose x}0.7^x 0.3^{50-x}=0.017\%\]

Comparando los resultados

En R la respuesta fue 0.000127 mientras que la respuesta por aproximación fue 0.000172 la diferencia absoluta entre resultados es de 0.000045 y el error relativo es

## [1] 35.43307

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Ejercicios propuestos

Cada uno de 12 refrigeradores de un tipo ha sido regresado a un distribuidor debido a un ruido agudo audible producido por oscilación cuando el refrigerador está funcionando. Suponga que 7 de estos refrigeradores tienen un compresor defectuoso y que los otros 5 tienen problemas menos serios. Si los refrigeradores se examinan en orden aleatorio, sea X el número entre los primeros 6 examinados que tienen un compresor defectuoso.

Calcule lo siguiente:

P(X=5)
P(X<4)
La probabilidad de que X exceda su valor medio por más de una desviación estándar

Un geólogo recolectó 10 especímenes de roca basáltica y 10 especímenes de granito. Él le pide a su ayudante de laboratorio que seleccione al azar 15 de los especímenes para analizarlos.

¿Cuál es la función masa de probabilidad del número de especímenes de granito seleccionados para su análisis?
¿Cuál es la probabilidad de que todos los especímenes de uno de los dos tipos de roca sean seleccionados para su análisis?
¿Cuál es la probabilidad de que el número de especímenes de granito seleccionados para analizarlos esté dentro de una desviación estándar de su valor medio?

Un tipo de cámara digital viene en una versión de 3 megapixeles o una versión de 4 megapixeles. Una tienda de cámaras recibió un envío de 15 de estas cámaras, de las cuales 6 tienen una resolución de 3 megapixeles. Suponga que se seleccionan al azar 5 de estas cámaras para guardarlas detrás del mostrador; las otras 10 se colocan en una bodega. Sea X = el número de cámaras de 3 megapixeles entre las 5 seleccionadas para guardarlas detrás del mostrador.

¿Qué distribución tiene X (nombre y valores de todos los parámetros)?
Calcule P(X = 2)
P(X ≤ 2)
P(X ≥ 2)
Calcule el valor medio y la desviación estándar de X.